卷二十二·志第三·历下

◎历下 
　　○步月离第五 
　　转终分：一十四万四千一百一十，秒六千六十六。 
　　转终日：二十七日，余二千九百，秒六千六十六。 
　　转中日：一十三日，余四千六十五，秒三千三十三。 
　　朔差日：一，余五千一百四，秒三千九百三十四。 
　　象策：七日，余二千一分，二十二秒半。 
　　秒母：一万。 
　　上弦：九十一度，三十一分，四十二秒。 
　　望：一百八十二度，六十二分，八十四秒。 
　　下弦：二百七十三度，九十四分，二十六秒。 
　　月平行度：十三度，三十六分，八十七秒半。 
　　分、秒母：一百。 
　　七日：初数，四千六百四十八。末数，五百八十二。 
　　十四日：初数，四千六十五。末数，一千一百六十五。 
　　二十一日：初数，三千四百八十三。末数，一千七百四十七。 
　　二十八日：初数，二千九百一。末数，二千三百二十九。 
　　求经朔弦望入转 
　　置天正朔积分，以转终分及秒去之，不尽，如日法而一，为日，不满为余秒，即天正十一月经朔入转日及余秒。以象策累加之，去命如前，即得弦、望经日加时入转日及余秒。径求次朔入转。(以朔差加之。) 
　　转定分及积度朓棵率 
　　(表略) 
　　求朔弦望入转朓棵定数 
　　置入转小余，以其日算外，损益率乘之，如日法而一，所得，以损益积为定数。其四七日下余，如初数以下，初率乘之，初数而一，以损益朓棵积为定数。如初数以上，初数减之，余乘末率，末数而一，便为朓棵定数。 
　　求朔弦望定日 
　　置经朔、弦、望小余，朓减朒加入气入转朓棵定数，满与不足，进退大余，命甲子算外，各得定朔、弦、望日辰及余。定朔前干名与后干名同者，其月大；不同者，其月小。月内无中气者为闰。视定朔小余：秋分后，在日法四分之三以上者，进一日。春分后，定朔日出分与春分日出分相减之余，三约之，用减四分之三，定朔小余及此数以上者，亦进一日。或有交，亏初在日入前者，不进之。 
　　定弦、望小余在日出分以下者，退一日。望或有交，亏初在日出前者，小余虽在日出后，亦退之。如十七日望者，又视定朔小余在四分之三以下之数，(春分后用减定之数。)与定望小余在日出分以上之数相较之；朔少望多者，望不退，而朔犹进之。望少朔多者，朔不进，而望犹退之。(日月之行，有盈有缩，迟疾加减之数，或有四大三小；若随常理，当察其时早晚，随所近而进退之，使不过三大二小。) 
　　求定朔弦望中积 
　　置定朔、弦、望大小余与经朔、弦、望大小余相减之余，以加减经朔、弦、望入气日余，(经朔、弦、望少即加之，多即减之。)即为定朔、弦、望入气。以加其气中积，即为定朔、弦、望中积。(其余以日法退除为分秒。) 
　　求定朔弦望加时日度 
　　置定朔、弦、望约余，以所入气日损益率乘，(盈缩损益。)万约之，以损益其下盈缩积，乃盈加缩减定朔弦望中积；又以冬至加时日躔黄道宿度加之，依宿次去之，即得定朔、弦、望加时日所在度及分秒。又置定朔、弦、望约余，副置之。以乘其日盈缩之损益率，万约之，应益者盈加缩减，应损者盈减缩加其副，满百为分，分满百为度，以加其日夜半日度，命之，各得其日加时日躔黄道宿次。(若先于历注定每日夜半日度，即为妙也。) 
　　求定朔弦望加时月度 
　　凡合朔加时日月同度，其定朔加时黄道日度，即为定朔加时黄道月度。弦、望各以弦、望度加定弦、望加时黄道日度，依宿次去之，即得定朔、弦、望加时黄道月度及分秒。 
　　求夜半午中入转 
　　置经朔入转，以经朔小余减之，为经朔夜半入转。又经朔小余与半法相减之余，以加减经朔加时入转，(经朔少，如半法加之；多，如半法减之。)为经朔午中入转。若定朔大余有进退者，亦加减转入，否则因经为定。每月累加一日，满终日及余秒去命如前，各得每日夜半、午中入转。(求夜半，因定朔夜半入转累加之。求午中，因定朔午中入转累加之。求加时入转者，如求加时入气术。) 
　　求加时及夜半月度 
　　置其日入转算外转定分，以定朔、弦、望小余乘之，如日法而一，为加时转分。(分满百为度。)减定朔、弦、望加时月度，为夜半月度。以所得转定分累加之，即得每日夜半月度。(或朔至弦、望，或至后朔，皆可累加之。然近则差少，远则差多。置所求前后夜半相距月度为行度，计其相距入转积度，与行度相减，余以相距日数除为日差，行度多以日差加每日转定分，行度少以日差减每日转定分，然后用之可中。或欲速求，用此数，欲究其故，宜用后术。) 
　　求晨昏月度 
　　置其日晨分，乘其日算外转定分，日法而一，为晨转分。用减定分，余为昏转分。又以朔、弦、望定小余、乘转定分，日法而一，为加时分。以减晨、昏转分，为前；不足，覆减之，为后。乃前加后减加时月度，即晨昏月所在宿度及分秒。 
　　求朔弦望晨昏定程 
　　各以其朔昏定月，减上弦昏定月，余为朔后昏定程。以上弦昏定月，减望昏定，余为上弦后昏定程。以望晨定月，减下弦晨定月，余为望后晨定程。以下弦晨定月，减后朔晨定月，余为下弦后晨定程。 
　　求每日转定度 
　　累计每程相距日下转积度，与晨昏定程相减，余以相距日数除之，为日差，(定程多加之，定程少减之。)以加减每日转定分，为转定度。因朔、弦、望晨昏月，每日累加之，满宿次去之，为每日晨昏月度及分秒。(凡注历：朔日以后注昏月，望后一日注晨月。)古历有九道月度，其数虽繁，亦难削去，具其术如后。 
　　求平交日辰 
　　置交终日及余秒，以其月经朔加时入交泛日及余秒减之，为平交入其月经朔加时后日及余秒。以加其月经朔大小余，其大余命甲子算外，即平交日辰及余秒。(求次交者，以交终日及余秒加之，大余满纪法去之，命如前，即次平交日辰及余秒。) 
　　求平交入转朓棵定数 
　　置平交小余，加其日夜半入转余，以乘其日损益率，日法而一，所得，以损益其下朓朒积，为定数。 
　　求正交日辰 
　　置平交小余，以平交入转朓棵定数，朓减朒加之，满与不足，进退日辰，即正交日辰及余秒。与定朔日辰相距，即所在月日。 
　　求经朔加时中积 
　　各以其月经朔加入气日及余，加其气中积余，其日命为度，其余以日法退除为分秒，即其经朔加时中积度及分秒。 
　　求正交加时黄道月度 
　　置平交入经朔加时后算及余秒，以日法通日，内余，进二位，如三万九千一百二十一分为度，不满退除为分秒，以加其月经朔加时中积，然后以冬至加时黄道日度加而命之，即其得其月正交加时月离黄道宿度及分秒。如求次交者，以交终度及秒加而命之，即得所求。 
　　求黄道宿积度 
　　置正交时黄道宿全度，以正交加时月离黄道宿度及分秒减之，余为距后度及分秒，以黄道宿度累加之，即各得正交后黄道宿积度及分秒。 
　　求黄道宿积度入初末限 
　　置黄道宿积度及分秒，满交象度及分秒去之，如在半交象以下，为初限；以上者，以减交象度及分秒，余为入末限。(入交积度交象度并在交会术中。) 
　　求月行九道宿度 
　　凡月行所交：冬入阴历，夏入阳历，月行青道。(冬至夏至后，青道半交在春分之宿，当黄道东。立冬立夏后，青道半交在立春之宿，当黄道东南。至所冲之宿亦如之。)冬入阳历，夏入阴历，月行白道。(冬至夏至后，白道半交在秋分之宿，当黄道西。立冬立夏后，白道半交在立秋之宿，当黄道西北。至所冲之宿亦如之。)春入阳历，秋入阴历，月行朱道。(春分秋分后，朱道半交在夏至之宿，当黄道南。立春立秋后，朱道半交在立夏之宿，当黄道西南。至所冲之宿亦如之。)春入阴历，秋入阳历，月行黑道。(春分秋分后，黑道半交在冬至之宿当黄道北。立春立秋后，黑道半交在立冬之宿，当黄道东北。至所冲之宿亦如之。)四序离为八节，至阴阳之所交，皆与黄道相会，故月行有九道。各以所入初末限度及分秒，减一百一度，余以所入初末限度及分乘之，半而退位为分，分满百为度，命为月道与黄道泛差。凡日以赤道内为阴，外为阳；月以黄道内为阴，外为阳。故月行正交，入夏至后宿度内为同名，入冬至后宿度内为异名。其在同名者，置月行与黄道泛差，九因八约之，为定差，半交后，正交前，以差减；正交后，半交前，以差加。(此加减出入六度，正，如黄赤道相交同名之差，若较之渐异，则随交所在，迁变不同也。)仍以正交度距秋分度数，乘定差，如象限而一，所得为月道与赤道定差。前加者为减，减者为加。其中异名者，置月行与黄道泛差，七因八约之，为定差。半交后，以差加；正交后，半交前，以差减。(此加减出入六度，异，如黄道赤道相交异名之差，较之渐同，则随交所迁变不常。)仍以正交度距春分度数，乘定差，如象限而一，所得为月道与赤道定差。前加者为减，减者为加。各加减黄道宿积度，为九道宿积度。以前宿九道积度减之，为其宿九道度及分。(其分就近约为太半少。论春夏秋冬以四时日所在宿度为正。) 
　　求正交加时月离九道宿度 
　　以正交加时黄道日度及分，减一百一度，余以正交度及分乘之，半而退位为分，分满百为度，命为月道与黄道泛差。其在同名者，置月行与黄道泛差。九因八约之，为定差，以加；仍以正交度距秋分度数，乘定差，如象限而一，所得为月道与赤道定差，以减，其在异名者，置月行与黄道泛差，七因八约之，为定差，以减；仍以正交度距春分度数，乘定差，如象限而一，所得为月道与赤道定差，以加。置正交加时黄道月度及分，以二差加减之，即为正交加时月离九道宿度及分。 
　　求定朔望加时月所在度 
　　置定朔加时日躔黄道宿次，凡合朔加时，月行潜在日下，与太阳同度，是为加时月离宿次。各以弦、望度及分秒，加其所当弦、望加时月躔黄道宿度，满宿次去之，命如前，各得定朔、弦、望加时月所在黄道宿度及分秒。 
　　求定朔弦望加时九道月度 
　　各以朔、弦、望加时月离黄道宿度及分秒，加前宿正交后黄道积度，为定朔、弦、望加时正交后黄道积度。如前求九道积度，以前宿九道积度减之，余为定朔、弦、望加时九道月离宿度及分秒。(其合朔加时，若非正交，则日在黄道，月在九道，所入宿度，虽多少不同，考其两极，若应绳准。故云：月行潜在日下，与太阳同度，即为加时九道月度。其求晨昏夜半月度，并依前术。) 
　　步交会第六 
　　交终分：一十四万二千三百一十九，秒九千三百六十八。 
　　交终日：二十七日，余一千一百九分，秒九千三百六十八。 
　　交中日：十三，余三千一百六十九，秋九千六百八十四。 
　　交朔日：二，余一千六百六十五，秒六百三十二。 
　　交望日：十四，余四千二，秒五千。 
　　秒母：一万。 
　　交终：三百六十三度，七十九分，三十六秒。 
　　交中：一百八十一度，八十九分，六十八秒。 
　　交象：九十度，九十四分，八十四秒。 
　　半交象：四十五度，四十七分，四十二秒。 
　　日蚀既前限：二千四百。定法：二百四十八。 
　　日蚀既后限：三千一百。定法：三百二十。 
　　月蚀限：五千一百。 
　　月蚀既限：一千七百。定法：三百四十。 
　　分秒母：一百。 
　　求朔望入交 
　　置天正朔积分，以交终分去之，不尽，如日法而一，为日，不满为余，即天正十一月经朔加时入交泛日及余秒。交朔加之，得次朔。交望加之，得次望。再加交望，亦得次朔。各为朔、望入交泛日及余秒 
　　求定朔每日夜半入交 
　　各置入交泛日及余秒，减去经朔、望小余，即为定朔、望夜半入交泛日及余秒。若定朔、望有进退者，亦进退交日，否则因经为定。大月加二日，小月加一日，余皆加四千一百二十秒六百三十二，即次朔夜半入交。累加一日，满交终日及余秒去之，即每日夜半入交泛日及余秒。 
　　求定朔望加时入交 
　　置经朔、望加时入交泛日及余秒，以入气入转朓棵定数，朓减朒加之，即定朔加时入交泛日及余秒。 
　　求定朔望加时入交积度及阴阳历 
　　置定朔、望加时入交泛日，以日法通之，内余，进二位，如三万九千一百二十一而一为度，不满退除为分秒，即定朔、望加时月行入交积度。以定朔、望加时入转迟疾度，迟减疾加之，即月行之入交定积度。如交中度以下，入阳历积度；以上，去之，余为入阴历积度。(每日夜半，准此求之。) 
　　求月去黄道度 
　　视月入阴阳历积度及分，如交象以下，为少象；以上，覆减交中，余为老象。置所入老少象度于上，列交象度于下，相减相乘，倍而退位为分，满百为度，用减所入老少象度及分，余又与交中度相减相乘，八因之，以百一十除为分，分满百为度，即得月去黄道度。 
　　求朔望加时入交常日及定日 
　　朔望入交泛日，以入气朓棵定数，朓减朒加之，为入交常日。 
　　又置入转朓棵定数，进一位，一百二十七而一，所得朓减朒加入交常日，为入交定日　及余秒。 
　　求人交阴阳历前后分 
　　视入交定日，如交中以下，为阳历；以上，去之，为阴历。如一日上下，(以日法通日为分。)为交后分。十三日上下，覆减交中，为交前分。 
　　求日月蚀其定余 
　　置朔、望入气入转朓棵定数，同名相从，异名相消，以一千三百三十七乘之，定朔、望加时入转算外转定分除之，所得，以朓减朒加经朔、望小余，为泛余。 
　　日蚀：视泛余如半法以下，为中前分；半法以上，去半法，为中后分。置中前后分，与半法相减相乘，倍之，万约为分，曰时差。中前，以时差减泛余为定余，覆减半法，余为午前分。中后，以时差加泛为定余，减去半法，为午后分。 
　　月食：视泛余在日入后、夜半前者，如日法四分之三以下，减去半法，为酉前分；四分之三以上，覆减日法，余为酉后分，又视泛余在夜半后、日出前者，如日法四分之一以下，为卯前分，四分之一以上，覆减半法，余为卯后分。其卯酉前后分，自相乘。四因，退位，万约为分，以加泛余，为定余。各置定余，以发敛加时法求之，即得日月所蚀之辰刻。 
　　求日月食甚日行积度 
　　置定朔、望食甚大小余，与经朔、望大小余相减之余，以加减经朔、望入气日小余，(经朔、望日少加多减。)即为食甚入气。以加其气中积，为食甚中积。又置食甚入气小余，以所入气日损益率(盈缩之损益)乘之，日法而一，以损益其日盈缩积；盈加缩减食甚中积，即为食甚日行积度及分。 
　　求气差 
　　置日食甚日行积度及分，满中限去之，余在象限以下，为初限；以上，覆减中限，为末限，皆有相乘，进二位，如四百七十八而一，所得，用减一千七百四十四，余为气差恒数。以午前后分乘之，半昼分除之，所得，以减恒数为定数。(不及减，覆减之，为定数。应加者减之，减者加之。)春分后，阳历减，阴历加；秋分后，阳历加，阴历减。(春分前、秋分后各二日二千一百分为定气，于此加减之。) 
　　求刻差 
　　置日食甚日行积度及分，满中限去之，余与中限相减相乘，进二位，如四百七十八而一，所得，为刻差恒数。以午前后分乘之，日法四分之一除之，所得为定数。(若在恒数以上者，倍恒数，以所得数减之为定数，依其加减。)冬至后，午前阳加阴减，午后阳减阴加。夏至后，午前阳减阴加，午后阳加阴减。 
　　求日食去前后定分 
　　气刻二差定数，同名相从，异名相消，为食差。依其加减去交前后分，为去交前后定分。视其前后定分，如在阳历，即不食；如在阴历，即有食之。如交前阴历不及减，反减之，(反减食差。)为交后阳历；交后阴历不及减，反减之，为交前阳历；即不食，交前阳历不及减，反减之，为交后阴历；交后阳历，不及减，反减之，为交前阴历；即日有食之。 
　　求日食分 
　　视去交前后定分，如二千四百以下，为既前分，以二百四十八除为大分。二千四百以上，覆减五千五百，(不足减者不食。)为既后分，以三百二十除为大分。不尽，退除为秒，即得日食之分秒。 
　　求月食分 
　　视去交前后分，(不用气刻差者。)一千七百以下者，食既。以上，覆减五千一百，(不足减者不食。)余以三百四十除为大分，不尽，退除为秒，即为月食之分秒也。去交分在既限以下，覆减既限，亦以三百四十除，为既内之大分。 
　　求日食定用分 
　　置日食之大分，与三十分相减相乘，又以二千四百五十乘之，如定朔入转算外转定分而一，所得，为定用分。减定余，为初亏分。加定余，为复圆分。各以发敛加时法求之，即得日食三限辰刻。 
　　求月食定用分 
　　置月食之大分，与三十分相减相乘，又以二千一百乘之，如定望入转算外转定分而一，所得，为定用分。加减定余，为初亏、复圆分。各如发敛加时法求之，即得月食三限辰刻。 
　　月食既者，以既内大分与十五相减相乘，又以四千二百乘之，如定望入转算外转定分而一，所得，为既内分。用减定用分，为既外分。置月食余减定用分，为初亏。因加既外分，为食既。又加既内分，为食甚。(既定余分也。)再加既内分，为生光。复加既外分，为复圆。各以发敛加时法求之，既得月食五限辰刻。 
　　求月食入更点 
　　置食甚所入日晨分，倍之，五约为更法。又五约更法，为点法。乃置月食初末诸分，昏分以上减昏分，晨分以下加晨分。如不满更法为初更。不满点法为一点。依法以次求之，既各得更点数。 
　　求日食所起 
　　食在既前，初起西南，甚于正南，复于东南；食在既后，初起西北，甚于正北，复于东北。其食八分以上，皆起正西，复于正东。(此据正午地而论之。) 
　　求月食所起 
　　月在阳历：初起东北，甚于正北，复于西北。月在阴历：初起东南，甚于正南，复于西南。其食八分以上，皆起正东，复于正西。(此亦据午地而论之) 
　　求日食出入带食所见分数 
　　各以食甚小余，与日出入分相减，余为带食差，以乘所食之分，满定用分而一，(月食既者，以既内分减带食差，余乘所食分，如既外分而一。不及减者，为带食既出入。)以减所食分，即日月出入带食所见之分。(其食甚在昼，晨为渐进，昏为已退。食甚在夜，晨为已退，昏为渐进。) 
　　求日月食甚宿次 
　　置日月食甚日行积度，(望即更加半周天。)以天正冬至加时黄道日度，加而命之，依黄道宿次去之，即各得日月食甚宿度及分。 
　　步五星第七 
　　木星 
　　周率：二百八万六千一百四十二，五十四秒。 
　　历率：二千二百六十五万五百七。 
　　历度法：六万二千一十四。 
　　周日：三百九十八日，八十八分。 
　　历度：三百六十五度，二十四分，八十二秒。 
　　历中：一百八十二度，六十二分，四十一秒。 
　　历策：一十五度，二十一分，八十七秒。 
　　伏见：一十三度。 
　　(以下表格略) 
　　火星 
　　周率：四百七万九千四十一，秒九十七。 
　　历率：三百五十九万二千七百五十八，秒三十二。 
　　历度法：九千八百三十六半。 
　　周日：七百七十九日，九十三分，一十六秒。 
　　历度：三百六十五度，二十四分，七十六秒。 
　　历中：一百八十二度，六十二分，三十八秒。 
　　历策：一十五度，二十一分，八十六秒。 
　　伏见：一十九度。 
　　(以下表格略) 
　　土星 
　　周率：一百九十七万七千四百一十二，秒四十六。 
　　历率：五千六百二十二万三千二百一十九。 
　　历度法：一十五万三千九百二十八。 
　　周日：三百七十八日，九分，三秒。 
　　历度：三百六十五度，二十五分，六十六秒。 
　　历中：一百八十二度，六十二分，八十三秒。 
　　历策：一十五度，二十一分，九十秒。 
　　伏见：一十七度。 
　　(以下表格略) 
　　金星 
　　周率：三百五万三千八百四，秒二十三。 
　　历率：一百九十万二百四十，秒一十一。 
　　历度法：五千二百三十。 
　　周日：五百八十三日，九十分，一十四秒。 
　　合日：二百九十一日，九十五分，七秒。 
　　历度：三百六十五度，二十四分，六十八秒。 
　　历中：一百八十二度，六十二分，三十四秒。 
　　历策：一十五度，二十一分，八十六秒。 
　　伏见：一十度半。 
　　(以下表格略) 
　　水星 
　　周率：六十万六千三十一，秒八十四。 
　　历率：一百九十一万二百四十二，秒三十五。 
　　历度法：五千二百三十。 
　　周日：一百一十五日，八十七分，六十秒。 
　　合日：五十七日，九十三分，八十秒。 
　　历度：三百六十五度，二十四分，七十一秒。 
　　历中：一百八十二度，六十二分，三十五秒半。 
　　历策：一十五度，二十一分，八十六秒。 
　　晨伏夕见：一十四度。 
　　夕伏晨见：一十九度。 
　　(以下表格略) 
　　求五星天正冬至后平合及诸段中积中星 
　　置通积分，各以其星周率去之。不尽，为前合分。覆减周率，余为后合分。如日法而一，不满退除为分秒，即其星天正冬至后平合中积、中星。(命为日，曰中积。命为度，曰中星。)以段日累加中积，即为诸段中积。以平度累加中星，经退减之，即为诸段中星。 
　　求五星平合及诸段入历 
　　置前通积分，各加其星后合分，以历率去之，不尽，各以其星历度法除为度，不满退为分秒，即为其星平合入历度及分秒。以诸段限度累加之，即得诸段入历。 
　　求五星平合及诸盈缩差 
　　各置其星其段入历度及分秒，如在历中以下，为在盈；以上，减去历中，余为在缩。以其星历策除之为策数，不尽为入策度及分，命策数算外，以其策数下损益率乘之，如历策而一为分，以损益其下盈缩积度，即为其星其段盈缩定差。 
　　求五星平合及诸段定积 
　　各置其星其段中积，以其盈缩定差盈加减之。即其段定积日及分。以加天正冬至大余及约分，满纪法六十去之，不尽，即为定日及加时分秒。不满命甲子算外，即得日辰。 
　　求五星及诸段所在日月 
　　各置其段定积日及分，以加天闰日及分，满朔策及约分除之为月数，不尽，为入月已来日数及分。其月数命天正十一月算外，即得其段入月经朔日数及分，以日辰相距为所在定朔月日。 
　　求五星平合及诸段加时定星 
　　各置中星，以盈缩定差盈加缩减之，(金星倍之，水星三因之，然后加减。)即为五星诸段定星。以加天正冬至加时黄道日度，依宿命之，即其星其段加时所在宿度及分秒。 
　　求五星诸段初日晨前夜半定星 
　　各以其段初行率，乘其段定积日下加时分，百约之，乃顺减退加其日加时定星，即为其段初日晨前夜半定星所在宿度。 
　　求诸段日率度率 
　　各以其段日辰距后段日辰为日率。以其段夜半宿次与后段夜半宿次相减，余为夜率。 
　　求诸段平行分 
　　各置其段度率及分秒，以其段日率除之，即其段平行度及分秒。 
　　求诸段总差日差 
　　以本段前后平行分相减，余为其段泛差。(假令求木星次疾差，乃以顺疾、顺迟平行分相减，余为次疾泛差。他皆仿此。)倍而退位为增减差，加减其段平行分，为初末日行分。(前多后少者，加为初，减为末。前少后多者，减为初，加为末。)倍增减差为总差，以日率减一除之，为日差。 
　　求前后伏迟退段增减差 
　　前伏者，置后段初日行分，加其日差之半，为末日行分。后伏者，置前段末日行分，加其日差之半，为初日行分。以减伏段平行分，余为增减差。前迟者，置前段末日行分，倍其日差减之，为初日行分。后迟者，置后段初日行分，倍其日差减之，为末日行分。以迟段平行分减之，余为增减差。(前后近留之迟段。) 
　　木、火、土三星退行者，六因平行分，退一位，为增减差。 
　　金星前后伏退，三因平行分，半而退位，为增减差。前退者，置后段初日行分，以其日差减之，为末日行分，后退者，置前段末日行分，以其日差减之，为初日行分。以本段平行分减，余为增减差。 
　　水星，半平行分为增减差，皆以增减差加减平行分，为初末日行分。(前多后少，加初减末；前少后多，减初加末。)又倍增减差为总差，以日率减一除之，为日差。 
　　求每日晨前夜半星行宿次 
　　各置其段初日行分，以日差累损益之(后少则损之，后多则益之。)为每日行度及分秒。乃顺加退减之，满宿次去之，即得每日晨前夜半星行宿次。(视前段末日、后段初日行分相较之数，不过一二日差为妙。或多日差数倍，或颠倒不伦，当类会前后增减差稍损益之，使其有伦，然后用之。或前后平行俱多俱少，则平注之。或总差之秒，不盈一分，亦平注之。若有不伦而平注之得伦者，亦平注之。) 
　　求五星平合及见伏入气 
　　置定积，以气策及约分除之，为气数，不满为入气日及分秒，命天正冬至算外，即所求平合及伏见入气日及分秒。 
　　求五星平合及见伏行差 
　　各以其段初日星行分与其太阳行分相减，余为行差。若金在退行，水在退合者，相并为行差。如水星夕伏晨见者，直以太阳行分为行差。 
　　求五星定合见伏泛积 
　　木、火、土三星，各以平合晨疾夕伏定积，便为定合定见定伏泛积。金、水二星，置其段盈缩差，(水星倍之。)各以行差除之，为日，不满退除为分秒。若在平合夕见晨伏者，盈减缩加；如在退合夕伏晨见者，盈加缩减。皆以加减定积，为定合定见定伏泛积。 
　　求五星定合定积定星 
　　木、火、土三星，各以平合行差除其日太阳盈缩差，为距合差日。以太阳盈缩差减之，为距合差度。日在盈历，以差日差度减之。在缩，加之。加减其星定合泛积，为定合定积定星。 
　　金、水二星顺合退合，各以平合退合行差除其日太阳盈缩差，为距合差日。顺加退减太阳盈缩差，为距合差度。顺在盈历，以差日差度加之；在缩，减之。退在盈历，以差日减之，差度加之；在缩，以差日加之，差度减之。皆以加减其星定合及再定合泛积，为定合再定合定积定星。以冬至大余及约分，加定积，满纪法去，命，即得定合日辰。以冬至加时黄道日度，加定星，满宿次去之，即得定合所在宿次。(其顺退所在盈缩，太阳盈缩也。) 
　　求木水土三星定见伏定积日 
　　各置其星定见伏泛积，晨加夕减象限日及分秒，(半中限为象限，)如中限以下，自相乘，以上，覆减岁周日及分秒，余亦自相乘，满七十五而一，所得，以其星伏见度乘之，十五除之，为差。其差如其段行差而一，为日，不满退除为分秒。见加伏减泛积为定积。加命如前，即得日辰也。 
　　求金水二星定见伏定积日 
　　各以伏见日行差，除其日太阳盈缩差，为日。若晨伏夕见，日在盈历，加之，在缩，减之。如夕伏晨见，日在盈历，减之，在缩，加之。加减其星泛积为常积。视常积，如中限以下，为冬至后，以上，去之，余为夏至后。其二至后，如象限以下，自相乘，以上，覆减中限，亦自相乘，各如法而一，为分。(冬至后晨，夏至后夕，以一十八为法。冬至后夕，夏至后晨，以七十五为法。)以伏见度乘之，十五除之，为差。差满行差而一，为日，不满退除为分秒。加减常积为定积。(冬至后晨见夕伏，加之；夕见晨伏，减之。夏至后晨见夕伏，减之；夕见晨伏，加之也。)加命如前，即得定见伏日辰。 
　　其水星，夕疾，在大暑气初日至立冬气九日三十五分以下者，不见。晨留，在大寒气初日至立夏气九日三十五分以下者，春不晨见，秋不夕见者，亦旧有之矣。 
　　浑象 
　　古之言天者有三家：一曰盖天，二曰宣夜，三曰浑天。汉灵帝时，蔡邕于朔方上书，言“宣夜之学，绝无师法”；《周髀》术数具存，考验天状，多所违失；惟有浑天为近，最得其情，近世太史候台铜仪是也。立八心体圆而具天地之形，以正黄道赤道之表里，以行日月之度数，步五纬之迟速，察气候之推迁，精微深妙，百代所不可废者也。然传历久远，制造者众，测候占察，互有得失，张衡之制，谓之《灵宪》，史失其传。魏、晋以来，官有其器，而无本书，故前志亦阙。吴中常侍王蕃云：“浑天仪者，羲和之旧器，谓之机衡。”积代相传，沿革不一。宋太平兴国中，蜀人张思训首创其式，造之禁中，逾年而成，诏置文明殿东鼓楼下，曰“太平浑仪”。自思训死，玑衡断坏，无复知其法制者。景德中，历官韩显符依仿刘曜时、孔挺、晁崇之法，失之简略。景祐中，冬官正舒易简乃用唐梁令瓒、僧一行之法，颇为详备，亦失之于密而难为用。元祐时，尚书右丞苏颂与昭文馆校理沈括奉敕详定《浑仪法要》，遂奏举吏部勾当官韩公廉通《九章勾股法》，常以推考天度与张衡、王蕃、僧一行、梁令瓒、张思训法式，大纲可以寻究。若据算术考案象器，亦能成就，请置局差官制造。诏如所言。奏郑州原武主簿王沇之，太史局官周日严、于太古、张促宣，同行监造。制度既成，诏置之集英殿，总谓之浑天仪。公廉交造仪时，先撰《九章勾股验测浑天书》一卷，贮之禁中，今失其传，故世无知者。 
　　旧制浑仪，规天矩地，机隐于内，上布经躔，次具日月五星行度，以察其寒暑进退，如张衡浑天、开元水运铜浑仪者，是也。久而不合，乖于施用。公廉之制则为轮三重：一曰六合仪，纵置地浑中，即天经环也，与地浑相结，其体不动；二曰三辰仪，置六合仪内；三曰四游仪，置三辰仪内。植四龙柱于地浑之下，又置鳌云于六合仪下。四龙柱下设十字水趺，凿沟道通水以平高下。别设天常单环于六合仪内，又设黄道赤道二单环，皆置三辰仪内，东西相交，随天运转，以验列舍之行。又为四象环，附三辰仪，相结于天运环，黄赤道两交为直距二纵置于四游仪内。北属六合仪地浑之上，以正北极出地之度。南属六合仪地浑之下，以正南极入地之度。此属仪之大形也。直距内夹轩望筒一，于筒之半设关轴，附直距上，使运转低昂，筒常指日，日体常在筒窍中，天西行一周，日东移一度，仍以窥测四方星度，皆斟酌李淳风、孔挺、韩显符、舒易简之制也。三辰仪上设天运环，以水运之。水运之法始于汉张衡，成于唐梁令瓒及僧一行，复于太平兴国中张思训，公廉今又变正其制，设天运环，下以天柱关轴之类上动浑仪，此新制也。 
　　旧制浑象，张衡所谓置密室中者，推步七曜之运，以度历象昏明之候，校二十四气，考昼夜刻漏，无出于浑象。《隋志》称梁秘府中有宋元嘉中所造者，以木为之，其圆如丸，遍体布二十八宿、三家星色、黄赤道、天河等，别为横规绕于外，上下半之，以象地也。开元中，诏僧一行与梁令瓒更造铜浑象，为圆天之象，上具列宿周天度数，注水激轮，令其自转，一日一夜天转一周，又别置日月五星循绕，络在天外，令得运行。每天西转一匝，日正东行一度，月行一十三度有奇，凡二十九转而日月会，三百六十五转而日行一匝。仍置木柜以为地平，令象半在地上，半在地下，又立二木偶人于地平之前，置钟鼓使木人自然撞击以报辰刻，命之曰《水运浑天俯视图》。既成，命置之武成殿。 
　　宋太史局旧无浑象，太平兴国中，张思训准开元之法，而上以盖为紫宫，旁为周天度，而东西转之，出新意也。 
　　公廉乃增损《隋志》制之，上列二十八宿周天度数，及紫微垣中外官星，以俯窥七政之运转，纳于六合仪天经地浑之内，同以木柜载之。其中贯以枢轴，南北出浑象外，南长北短，地浑在木柜面，横置之，以象地。天经与地浑相结，纵置之，半在地上，半隐地下，以象天。其枢轴北贯天经上杠中，末与杠平，出柜外三十五度稍弱，以象北极出地。南亦贯天经出下杠外，入柜内三十五度少弱，以象南极入地。就赤道为牙距，四百七十八牙以衔天轮，随机轮地毂正东西运转，昏明中星既应其度，分至节气亦验应而不差。 
　　王蕃云：“浑象之法，地当在天内，其势不便，故反观其形，地为外郭，于已解者无异，诡状殊体而合于理，可谓奇巧者也。”今地浑说在浑象外，盖出于王蕃制也。其下则思训旧制，有枢轮关轴，激水运动，以直神摇铃扣钟击鼓，置时刻十二神司辰像于轮上，时初、正至，则执牌循环而出，报随刻数以定昼夜长短。至冬水凝，运转迟涩，则以水银代之。 
　　今公廉所制，共置一台，台中有二隔，浑仪置其上，浑象置其中，激水运转，枢机轮轴隐于下。内设昼夜时刻机轮五重；第一重曰天轮，以拨浑象赤道牙距；第二重曰拨牙轮，上安牙距，随天柱中轮转动，以运上下四轮；第三重曰时刻钟鼓轮，上安时初、时正百刻拨牙，以扣钟击鼓摇铃；第四重曰日时初正司辰轮，上安时初十二司辰、时正十二司辰；第五重曰报刻司辰轮，上安百刻司辰。以上五轮并贯于一轴，上以天束束之，下以铁杵臼承之，前以木阁五层蔽之，稍增异其旧制矣。五轮之北，又侧设枢轮，其轮以七十二辐为三十六洪，束以三辋，夹持受水三十六壶。毂中横贯铁枢轴一，南北出轴为地毂，运拨地轮。天柱中轮动，机轮动浑象，上动浑天仪。又枢轮左设天池、平水壶，平水壶受天池水，注入受水壶，以激枢轮。受水壶落入退水壶。由壶下北窍引水入升水下壶，以升水下轮运水入升水上壶，上壶内升水上轮及河车同转上下轮，运水入天河，天河复流入天地，每一昼一夜周而复始。此公廉制浑仪、浑象二器而通三用，总而名之曰浑天仪。 
　　金既取汴，皆辇致于燕，天轮赤道牙距拨轮悬象钟鼓司辰刻报天池水壶等器久皆弃毁，惟铜浑仪置之太史局候台。但自汴至燕相去一千余里，地势高下不同，望筒中取极星稍差，移下四度才得窥之。明昌六年秋八月，风雨大作，雷电震击，龙起浑仪鳌云水趺下，台忽中裂而摧，浑仪仆落台下，旋命有司营葺之，复置台上。贞祐南渡，以浑仪熔铸成物，不忍毁拆，若全体以运则艰于辇载，遂委而去。 
　　兴定中，司天台官以台中不置浑仪及测候人数不足，言之于朝，宜铸仪象，多补生员，庶得尽占考之实。宣宗召礼部尚书杨云翼问之，云翼对曰：“国家自来铜禁甚严，虽罄公私所有，恐不能给。今调度方殷，财用不足，实未可行。”他日，上又言之，于是止添测候之人数员，铸仪之议遂寝。 
　　初，张行简为礼部尚书提点司天监时，尝制莲花、星丸二漏以进，章宗命置莲花漏二禁中，星丸漏遇车驾巡幸则用之。贞祐南渡，二漏皆迁于汴，汴亡废毁，无所稽其制矣。